A continuación un vídeo para que puedas entender mucho más este tema de derivada, con esto podrás despejar tus dudas y resolver  de una manera mas rápido los ejercicios propuestos y así tener claro el tema en su totalidad para realizar una excelentes pruebas saber 11° en matemáticas y esperemos también en todos los demás saberes.

Derivada en un punto

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente incrementa cuando el incremento de la variable tiende a cero.





Ejemplo:
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x² en el punto x = 2.



 
     

Ejercicios para resolver:

• Hallar la derivada de la función f(x) = x² + 4x − 5 en x = 1.

• Calcular la derivada de  en x = −5.

• Hallar la derivada de  en x = 1

Reglas para hallar la derivada 

1. Derivada de una función constante: D(k)=0, pues la pendiente de y=k es cero en todos sus puntos.
2. Derivada de x: D(x)=1, pues la recta y=x tiene pendiente 1 en todos sus puntos.
3. Derivada de la función potencia: D(xⁿ)=n.x^n-1, siendo n un número cualquiera.
4. Derivada del producto de un número por una función: D(k.f(x))=k.D(f(x))
5. Derivada de la suma de dos funciones: D(f(x)+g(x))=D(f(x))+D(g(x))
6. Derivadas de las funciones sen(x) y cos(x): D(sen(x))=cos(x), D(cos(x))=-sen(x)
7. Derivada de f(ax+b): D(f(ax+b))=a.D(f)
8. Derivada del producto de dos funciones: D(f(x).g(x))=f '(x).g(x)+f(x).g'(x)
9. Derivada del cociente de dos funciones: 

 

Interpretación gráfica de una derivada 

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

m_t = f'(a)

para entender este tema es necesario tener claros los siguientes conceptos y observando el ejemplo que esta al final de la explicación del tema podrás realizar el ejercicio que te ayudará a reforzar para tu prueba saber 11°

Continuidad de una función en un punto

Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = así y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x = a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.

Ejemplo 

Estudiar la continuidad de  en x = 2

1. La función tiene imagen en x = 2.

f(2)= 4

2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales.

3. En x = 2 la imagen coincide con el límite

En la gráfica podemos comprobar que es continua.

Ejercicio para resolver: